Opori-osveshenia.ru

Опоры освещения
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Максимальная кинетическая энергия груза: формула

Максимальная кинетическая энергия груза: формула

Кинетическая энергия — внутренняя энергия движущегося тела, обусловленная его инертностью (массой) и скоростью. Она равна энергии, которую нужно затратить, чтобы снизить скорость этого тела до нуля.

Например, движущийся автомобиль невозможно остановить мгновенно. Для остановки необходимо затратить энергию трения тормозных колодок о тормозные диски колес и шин об асфальт.

Кинетическая и потенциальная энергия измеряются в джоулях ($1 Дж = Н cdot м$).

В некоторых физических системах происходят циклические преобразования потенциальной (запасенной) энергии в кинетическую и обратно. Такие системы называются маятниками. Например, для груза, подвешенного на нити, потенциальная энергия максимальна, когда он отклонен на максимальный угол от вертикали. Мгновенная скорость груза в этот момент равна нулю и, следовательно, нулю равна и кинетическая энергия. По мере движения вниз под действием силы тяжести, скорость груза нарастает и достигает максимума в нижней точке, после чего снова начинает запасаться по мере движения вверх.

Проще всего изучать переход кинетической и потенциальной энергий друг в друга на примере пружинного маятника, где действует, если пренебречь силой трения, лишь сила упругости. Когда пружину сжимают, энергия запасается. Когда отпускают — потенциальная энергия, сохраненная в кристаллической решетке материала, высвобождается и превращается в кинетическую, разгоняя груз. Когда скорость груза достигает максимума, он продолжает движение по инерции, растягивая пружину в противоположном направлении, вновь запасая энергию и снижая скорость. Характеристики такого колебательного движения зависят только от материала пружины, толщины проволоки, из которой она намотана, диаметра и количества витков. Все эти факторы описываются единым параметром — коэффициентом упругости.

Максимальная кинетическая энергия груза

Для простого пружинного маятника полную энергию груза в любой момент времени можно выразить как

  • $E_p$ — потенциальная энергия,
  • $E_k$ — кинетическая энергия,
  • $m$ — масса,
  • $v$ — моментальная скорость,
  • $k$ — коэффициент упругости,
  • $x$ — приращение длины пружины в данный момент.

Готовые работы на аналогичную тему

Максимальную кинетическую энергию можно вычислить как

где $v_$ — максимальная скорость груза. Однако измерить ее на практике сложно. Проще, опираясь на постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий, определить максимальную потенциальную (когда кинетическая равна нулю). Поскольку справедливо и обратное, можно записать:

где $x_$ — максимальное приращение растяжения пружины. Его легко измерить, а коэффициент упругости посмотреть в справочнике.

Компактный груз, массой 0,5 кг прикреплен к движущейся горизонтально пружине. Ее коэффициент упругости равен 2000 $frac<Н><м>$. Каково было начальное приращение длины пружины, если его максимальная скорость во время колебаний составляет 1 $frac<м><с>$?

Читайте так же:
Аксиально плунжерный насос принцип работы

Из условий задачи можно найти максимальную кинетическую энергию груза:

Выразив максимальную потенциальную энергию через приращение длины пружины, составим равенство:

Математический маятник. Пружинный маятник. Механические волны.

Математический маятник. Пружинный маятник. Механические волны.

Математический маятник.

Математическим маятником называют тело небольших размеров, подвешенное на тонкой, длинной и нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела. Только в случае малых колебаний математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть системой, способной совершать гармонические (по закону sin или cos) колебания. Практически такое приближение справедливо для углов порядка 5–10°. Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.

Циклическая частота колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

Элеком37. Математический маятник.

Период колебаний математического маятника:

Элеком37. Математический маятник 1.

Полученная формула называется формулой Гюйгенса и выполняется, когда точка подвеса маятника неподвижна. Важно запомнить, что период малых колебаний математического маятника не зависит от амплитуды колебаний. Такое свойство маятника называется изохронностью. Как и для любой другой системы, совершающей механические гармонические колебания, для математического маятника выполняются следующие соотношения:

1. Путь от положения равновесия до крайней точки (или обратно) проходится за четверть
периода.

2. Путь от крайней точки до половины амплитуды (или обратно) проходится за одну шестую
периода.

3. Путь от положения равновесия до половины амплитуды (или обратно) проходится за
одну двенадцатую долю периода.

Пружинный маятник.

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия. Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению. Таким свойством обладает сила упругости.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно, составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют пружинным маятником.

Циклическая частота колебаний пружинного маятника рассчитывается по формуле:

Элеком37. Пружинный маятник 1.

Период колебаний пружинного маятника:

Элеком37. Пружинный маятник 2.

При малых амплитудах период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды (как и у математического маятника). При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную:

Читайте так же:
Самодельный стол для циркулярной пилы чертежи

Элеком37. Пружинный маятник 3.

А колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае. Таким образом, полученная формула для периода колебаний груза на пружине остается справедливой во всех случаях, независимо от направления колебаний, движения опоры, действия внешних постоянных сил.

При свободных механических колебаниях кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются. При максимальном отклонении тела от положения равновесия его скорость, а, следовательно, и кинетическая энергия обращаются в нуль. В этом положении потенциальная энергия колеблющегося тела достигает максимального значения. Для груза на пружине потенциальная энергия – это энергия упругой деформации пружины. Для математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Тело проскакивает положение равновесия по инерции. В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией (как правило, потенциальную энергию в положении равновесия полагают равной нулю). Увеличение кинетической энергии происходит за счет уменьшения потенциальной энергии. При дальнейшем движении начинает увеличиваться потенциальная энергия за счет убыли кинетической энергии и так далее.

Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. При этом, максимальное значение кинетической энергии при механических гармонических колебаниях задаётся формулой:

Элеком37. Пружинный маятник 4.

Максимальное значение потенциальной энергии при механических гармонических колебаниях пружинного маятника:

Элеком37. Пружинный маятник 5.

Взаимосвязь энергетических характеристик механического колебательного процесса (полная механическая энергия равна максимальным значениям кинетической и потенциальной энергий, а также сумме кинетической и потенциальной энергий в произвольный момент времени):

Элеком37. Пружинный маятник 6.

Механические волны.

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Механические волны бывают разных видов. Если при распространении волны частицы среды испытывают смещение в направлении, перпендикулярном направлению распространения, такая волна называется поперечной. Если смещение частиц среды происходит в направлении распространения волны, такая волна называется продольной.

Читайте так же:
Сборка поршневой бензопилы штиль 180

Как в поперечных, так и в продольных волнах не происходит переноса вещества в направлении распространения волны. В процессе распространения частицы среды лишь совершают колебания около положений равновесия. Однако волны переносят энергию колебаний от одной точки среды к другой.

Характерной особенностью механических волн является то, что они распространяются в материальных средах (твердых, жидких или газообразных). Существуют немеханические волны, которые способны распространяться и в пустоте (например, световые, т.е. электромагнитные волны могут распространяться в вакууме).

— Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых,
жидких и газообразных.

— Поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны. Они характеризуются амплитудой A колебания частиц, частотой ν и длиной волны λ. Синусоидальные волны распространяются в однородных средах с некоторой постоянной скоростью υ.

Длиной волны λ называют расстояние между двумя соседними точками, колеблющимися в одинаковых фазах. Расстояние, равное длине волны λ, волна пробегает за время равное периоду T, следовательно, длина волны может быть рассчитана по формуле:

Элеком37. Механические волны.

где: υ – скорость распространения волны. При переходе волны из одной среды в другую длина волны и скорость ее распространения меняются. Неизменными остаются только частота и период волны.

Разность фаз колебаний двух точек волны, расстояние между которыми l рассчитывается по формуле:

Кинетическая энергия груза на пружине формула

Вычислим энергию тела массой m, совершающего гармонические колебания с амплитудой А и круговой частотой ω (рис. 1.1).

Потенциальная энергия U тела, смещенного на расстояние х от положения равновесия, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила , перемещая тело в положение равновесия.

, отсюда , или

,

(1.5.1)

(1.5.2)

Кинетическая энергия

.

(1.5.3)

Заменив в (1.5.2) и сложив почленно уравнения (1.5.2) и (1.5.3), получим выражение для полной энергии:

, или

.

(1.5.4)

Полная механическая энергия гармонически колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

В случае свободных незатухающих колебаний полная энергия не зависит от времени, поэтому и амплитуда А не зависит от времени.

Из (1.5.2) и (1.5.3) видно, что и потенциальная U, и кинетическая K энергия пропорциональны квадрату амплитуды А 2 .

Рассмотрим колебания груза под действием сил тяжести (рис. 1.4).

Из рис. 1.4 и из формул (1.5.2) и (1.5.3) видно, что U и K изменяются периодически (при свободных незатухающих колебаниях). Однако период изменения энергии в два раза меньше, чем период изменения смещения скорости и ускорения. Это значит, что и кинетическая, и потенциальная энергия изменяются с частотой, которая в два раза превышает частоту смещения гармонического колебания. За время одного полного колебания U и K дважды достигают своих максимальных значений и дважды обращаются в нуль. Связано это с тем, что и U, и K пропорциональны квадрату косинуса и синуса фазы колебаний.

Максимум потенциальной энергии (1.5.2) .

Максимум кинетической энергии , но когда и наоборот. На рис. 1.5 представлены графики зависимости х, U и K от времени t.

При колебаниях, совершающихся под действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот, но их сумма в любой момент времени постоянна.

На рис. 1.6 приведена кривая потенциальной энергии.

Горизонтальная линия соответствует определенному значению полной энергии: Расстояние от этой линии до кривой равно кинетической энергии, а движение ограничено значениями х, заключенными в пределах от + А до – А. Эти результаты полностью согласуются с полным решением уравнения движения.

Свободные колебания. Математический маятник

При наличии механических колебаний происходит периодическое изменение кинетической и потенциальной энергии. Обращение в ноль кинетической энергии и скорости связано с максимальным отклонением тела от положения равновесия. Энергия такого колеблющегося тела достигает максимального значения. Если груз располагается на горизонтальной пружине, то потенциальная энергия считается энергией упругих деформаций пружины. У математического маятника – это энергия в поле тяготения Земли.

Когда тело принимает положение равновесия при движении, это говорит о наличии минимальной его скорости. Тогда кинетическая энергия обладает максимальным значением, а потенциальная – минимальным. По 3 -му закону Ньютона формула силы натяжения записывается как T = m g при вертикальном подвешивании тела на нити. Уменьшение потенциальной приводит к увеличению кинетической. Дальнейшее движение показывает, что происходит уменьшение кинетической и увеличение потенциальной.

Гармонические колебания – это пример превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Свободные колебания. Математический маятник

Рисунок 2 . 4 . 1 . Модель превращения энергии при колебаниях.

Математический и пружинный маятник

Когда колебательная система не имеет силы трения, тогда остается неизменной полная механическая энергия.

Формулы, характеризующие груз на пружине:

E = E k + E p = m υ 2 2 + k x 2 2 , ω 0 2 = k m , ( E p ) m a x = k x m 2 2 , ( E k ) m a x = m υ m 2 2 = m ω 0 2 x m 2 2 = ( E p ) m a x .

Выражения при малых колебаниях математического маятника записываются:

E = E k + E p = m υ 2 2 + m g h = m υ 2 2 + m g x 2 2 l , ω 0 2 = g l , ( E p ) m a x = m g h m = m g x m 2 2 l , ( E k ) m a x = m υ m 2 2 = m ω 0 2 x m 2 2 = ( E p ) m a x .

Значение h m является максимальной высотой подъема маятника, x m и υ m = ω 0 x m – максимальными значениями отклонения физического маятника от положения равновесия и его скорости.

Для объяснения превращения энергии при свободных механических колебаниях без силы трения приводится иллюстрация.

Если рассматривать колебания с грузом массой m на пружине с жесткостью k , тогда смещение груза x ( t ) из положения равновесия и его скорость υ ( t ) могут изменяться со временем согласно законам:

x ( t ) = x m cos ( ω 0 t ) , где ω 0 2 = k m ,

υ ( t ) = — ω x m sin ( ω 0 t ) .

Формулы кинетической и потенциальной энергии запишутся так:

E p ( t ) = 1 2 k x 2 = 1 2 k x m 2 cos 2 ω 0 t = 1 4 k x m 2 ( 1 + cos 2 ω 0 t ) ,

E k ( t ) = 1 2 m υ 2 = 1 2 k ω 0 2 x m 2 sin 2 ω 0 t = 1 4 k x m 2 ( 1 — cos 2 ω 0 t ) .

Рисунок 2 . 4 . 2 показывает два графика функций изменения E p ( t ) и E k ( t ) . Обе энергии в период колебаний T = 2 π ω 0 , достигают максимальных значений по два раза. Значение их суммы не изменяется E p ( t ) + E k ( t ) = E = c o n s t .

Рисунок 2 . 4 . 2 . Превращения энергии при свободных колебаниях.

Реальные условия для колебательной системы – это наличие воздействия сил трения (сопротивления).

При переходе части механической энергии во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул колебания становятся затухающими, как показано на рисунке 2 . 4 . 3 .

Рисунок 2 . 4 . 3 . Свободные затухающие механические колебания.

Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения.

Частота. Добротность. Формулы

Промежуток времени τ с уменьшением колебаний в e ≈ 2 , 7 раз называют временем затухания.

Скорость затухания зависит от частоты свободных колебаний, как видно из формулы. При увеличении действия сил трения происходит уменьшение собственной частоты. Если действия силы трения достаточно велико, то изменение частоты становятся заметными.

Колебательная система с затухающими колебаниями характеризуется добротностью Q .

Определение параметра представляет собой произведение числа полных колебаний N за время затухания τ на значение π :

Повышение Q колебательной системы происходит при медленных затуханиях свободных колебаний. На рисунке 2 . 4 . 3 показано, что Q имеет значение, приближенное к 15 .

Добротность механических колебательных систем может достигать огромных значений. Для определения Q колебательной системы применяют формулу:

Q = 2 π З а п а с э н е р г и и в к о л е б а т е л ь н о й с и с т е м е П о т е р я э н е р г и и з а 1 п е р и о д к о л е б а н и й .

То есть добротность способна характеризовать относительную убыль (затухание) энергии при наличии действия силы трения на данном промежутке времени, равняющемуся одному периоду колебаний.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector