Opori-osveshenia.ru

Опоры освещения
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Силы упругости

Силы упругости

Как вы уже знаете из курса физики основной школы, силы упругости связаны с деформацией тел, то есть изменением их формы и (или) размеров.

Связанная с силами упругости деформация тел не всегда заметна (подробнее мы остановимся на этом ниже). По этой причине свойства сил упругости изучают обычно, используя для наглядности пружины: их деформация хорошо видна на глаз.

Подвесим к пружине груз (рис. 15.1, а). (Будем считать, что массой пружины можно пренебречь.) Пружина растянется, то есть деформируется.
Сила упругости
На подвешенный груз действуют сила тяжести т и приложенная со стороны растянутой пружины сила упругости упр (рис. 15.1, б). Она вызвана деформацией пружины.

Согласно третьему закону Ньютона на пружину со стороны груза действует такая же по модулю, но противоположно направленная сила (рис. 15.1, в). Эта сила – вес груза: ведь это сила, с которой тело растягивает вертикальный поднес (пружину).

Силы упр и , с которыми груз и пружина взаимодействуют друг с другом, связаны третьим законом Ньютона и поэтому имеют одинаковую физическую природу. Следовательно, вес – это тоже сила упругости. (Действующая на пружину со стороны груза сила упругости (вес груза) обусловлена деформацией груза. Эта деформация незаметна, если грузом является гиря или брусок. Чтобы деформация груза стала тоже заметной, можно в качестве груза взять массивную пружину: мы увидим, что она растянется.) Действуя на пружину, вес груза растягивает ее, то есть является причиной ее деформации. (Во избежание недоразумений подчеркнем еще раз, что пружину, к которой подвешен груз, растягивает не приложенная к грузу сила тяжести груза, а приложенная к пружине со стороны груза сила упругости (вес груза).)

На этом примере мы видим, что силы упругости являются и следствием, и причиной упругой деформации тел:
– если тело деформировано, то со стороны этого тела действуют силы упругости (например, сила упр на рисунке 15.1, б);
– если к телу приложены силы упругости (например, сила на рисунке 15.1, в), то это тело деформируется.

? 1. Какие из изображенных на рисунке 15.1 сил
а) уравновешивают друг друга, если груз покоится?
б) имеют одинаковую физическую природу?
в) связаны третьим законом Ньютона?
г) перестанут быть равными по модулю, если груз будет двигаться с ускорением, направленным вверх или вниз?

Всегда ли деформация тела заметна? Как мы уже говорили, «коварная» особенность сил упругости состоит в том, что связанная с ними деформация тел далеко не всегда заметна.

Деформация стола, обусловленная весом лежащего на нем яблока, незаметна на глаз (рис. 15.2).
Деформация стола

И тем не менее она есть: только благодаря силе упругости, возникшей вследствие деформации стола, он удерживает яблоко! Деформацию стола можно обнаружить с помощью остроумного опыта. На рисунке 15.2 белые линии схематически обозначают ход луча света, когда яблока на столе нет, а желтые линии – ход луча света, когда яблоко лежит на столе.

? 2. Рассмотрите рисунок 15.2 и объясните, благодаря чему деформацию стола удалось сделать заметной.

Некоторая опасность состоит в том, что, не заметив деформации, можно не заметить и связанной с ней силы упругости!

Так, в условиях некоторых задач фигурирует «нерастяжимая нить». Под этими словами подразумевают, что можно пренебречь только величиной деформации нити (увеличением ее длины), но нельзя пренебрегать силами упругости, приложенными к нити или действующими со стороны нити. На самом деле «абсолютно нерастяжимых нитей» нет: точные измерения показывают, что любая нить хоть немного, но растягивается.

Например, если в описанном выше опыте с грузом, подвешенным к пружине (см. рис. 15.1), заменить пружину «нерастяжимой нитью», то под весом груза нить растянется, хотя ее деформация и будет незаметной. А следовательно, будут присутствовать и все рассмотренные силы упругости. Роль силы упругости пружины будет играть сила натяжения нити, направленная вдоль нити.

? 3. Сделайте чертежи, соответствующие рисунку 15.1 (а, б, в), заменив пружину нерастяжимой нитью. Обозначьте на чертежах силы, действующие на нить и на груз.

? 4. Два человека тянут в противоположные стороны веревку с силой 100 Н каждый.
а) Чему равна сила натяжения веревки?
б) Изменится ли сила натяжения веревки, если один ее конец привязать к дереву, а за другой конец тянуть с силой 100 Н?

Природа сил упругости

Силы упругости обусловлены силами взаимодействия частиц, из которых состоит тело (молекул или атомов). Когда тело деформируют (изменяют его размеры или форму), расстояния между частицами изменяются. Вследствие этого между частицами возникают силы, стремящиеся вернуть тело в недеформированное состояние. Это и есть силы упругости.

2. Закон Гука

Будем подвешивать к пружине одинаковые гирьки. Мы заметим, что удлинение пружины пропорционально числу гирек (рис. 15.3).

Это означает, что деформация пружины прямо пропорциональна силе упругости.
Сила упругости и деформация пружины

Обозначим деформацию (удлинение) пружины

где l – длина деформированной пружины, а l – длина недеформированной пружины (рис. 15.4). Когда пружина растянута, x > 0, а проекция действующей со стороны пружины силы упругости Fx < 0. Следовательно,

Знак «минус» в этой формуле напоминает, что приложенная со стороны деформированного тела сила упругости направлена противоположно деформации этого тела: растянутая пружина стремится сжаться, а сжатая – растянуться.

Коэффициент k называют жесткостью пружины. Жесткость зависит от материала пружины, ее размеров и формы. Единица жесткости 1 Н/м.

Соотношение (2) называют законом Гука в честь английского физика Роберта Гука, открывшего эту закономерность. Закон Гука справедлив при не слишком большой деформации (величина допустимой деформации зависит от материала, из которого изготовлено тело).

Читайте так же:
Какой пилкой для лобзика пилить фанеру

Формула (2) показывает, что модуль силы упругости F связан с модулем деформации x соотношением

Из этой формулы следует, что график зависимости F(x) – отрезок прямой, проходящий через начало координат.

? 5. На рисунке 15.5 приведены графики зависимости модуля силы упругости от модуля деформации для трех пружин.
а) У какой пружины наибольшая жесткость?
б) Чему равна жесткость самой мягкой пружины?

Графики зависимости силы упругости от удлинения пружин

? 6. Груз какой массы надо подвесить к пружине жесткостью 500 Н/м, чтобы удлинение пружины стало равным 3 см?

Важно отличать удлинение пружины x от ее длины l. Различие между ними показывает формула (1).

? 7. Когда к пружине подвешен груз массой 2 кг, ее длина равна 14 см, а когда подвешен груз массой 4 кг, длина пружины равна 16 см.
а) Чему равна жесткость пружины?
б) Чему равна длина недеформированной пружины?

3. Соединение пружин

Последовательное соединение

Возьмем одну пружину жесткостью k (рис, 15.6, а). Если растягивать ее силой (рис. 15.6, б), ее удлинение выражается формулой

Последовательное соединение пружин
Возьмем теперь вторую такую же пружину и соединим пружины, как показано на рисунке 15.6, в. В таком случае говорят, что пружины соединены последовательно.

Найдем жесткость kпосл системы из двух последовательно соединенных пружин.

Если растягивать систему пружин силой , то сила упругости каждой пружины будет равна по модулю F. Общее же удлинение системы пружин будет равно 2x, потому что каждая пружина удлинится на x (рис. 15.6, г).

где k – жесткость одной пружины.

Итак, жесткость системы из двух одинаковых последовательно соединенных пружин в 2 раза меньше, чем жесткость каждой из них.

Если последовательно соединить пружины с разной жесткостью, то силы упругости пружин будут одинаковы. А общее удлинение системы пружин равно сумме удлинений пружин, каждое из которых можно рассчитать с помощью закона Гука.

? 8. Докажите, что при последовательном соединении двух пружин
1/kпосл = 1/k1 + 1/k2, (4)
где k1 и k2 – жесткости пружин.

? 9. Чему равна жесткость системы двух последовательно соединенных пружин жесткостью 200 Н/м и 50 Н/м?

В этом примере жесткость системы двух последовательно соединенных пружин оказалась меньше, чем жесткость каждой пружины. Всегда ли это так?

? 10. Докажите, что жесткость системы двух последовательно соединенных пружин меньше жесткости любой из пружин, образующих систему.

Параллельное соединение

На рисунке 15.7 слева изображены параллельно соединенные одинаковые пружины.
Параллельное соединение пружин
Обозначим жесткость одной пружины k, а жесткость системы пружин kпар.

? 11. Докажите, что kпар = 2k.

Подсказка. См. рисунок 15.7.

Итак, жесткость системы из двух одинаковых параллельно соединенных пружин в 2 раза больше жесткости каждой из них.

? 12. Докажите, что при параллельном соединении двух пружин жесткостью k1 и k2

Подсказка. При параллельном соединении пружин их удлинение одинаково, а сила упругости, действующая со стороны системы пружин, равна сумме их сил упругости.

? 13. Две пружины жесткостью 200 Н/м и 50 Н/м соединены параллельно. Чему равна жесткость системы двух пружин?

? 14. Докажите, что жесткость системы двух параллельно соединенных пружин больше жесткости любой из пружин, образующих систему.

Дополнительные вопросы и задания

15. Постройте график зависимости модуля силы упругости от удлинения для пружины жесткостью 200 Н/м.

16. Тележку массой 500 г тянут по столу с помощью пружины жесткостью 300 Н/м, прикладывая силу горизонтально. Трением между колесами тележки и столом можно пренебречь. Чему равно удлинение пружины, если тележка движется с ускорением 3 м/с 2 ?

17. К пружине жесткостью k подвешен груз массой m. Чему равно удлинение пружины, когда груз покоится?

18. Пружину жесткостью k разрезали пополам. Какова жесткость каждой из образовавшихся пружин?

19. Пружину жесткостью k разрезали на три равные части и соединили их параллельно. Какова жесткость образовавшейся системы пружин?

20. Докажите, что жесткость и последовательно соединенных одинаковых пружин в n раз меньше жесткости одной пружины.

21. Докажите, что жесткость n параллельно соединенных одинаковых пружин в n раз больше жесткости одной пружины.

22. Если две пружины соединить параллельно, то жесткость системы пружин равна 500 Н/м, а если эти же пружины соединить последовательно, то жесткость системы пружин равна 120 Н/м. Чему равна жесткость каждой пружины?

23. Находящийся на гладком столе брусок прикреплен к вертикальным упорам пружинами жесткостью 100 Н/м и 400 Н/м (рис. 15.8). В начальном состоянии пружины не деформированы. Чему будет равна действующая на брусок сила упругости, если его сдвинуть на 2 см вправо? на 3 см влево?

СНиП II-23-81 => Таблица 51*. Нормативные и расчетные сопротивления при растяжении, сжатии и изгибе листового, широкополосного…

Основные характеристики строительной стали марки С245

По химическому составу в неё входит следующий набор основных химических элементов:

  • железо – близко к 98%;
  • углерод не превышает 0,22% (поэтому и относится к классу низкоуглеродистых сталей);
  • марганца не более 0,65%;
  • никеля около 0,3%;
  • хрома и меди, также около 0.3%.

Остальные элементы, такие как кремний, сера, фосфор не превышают одной сотой процента. Сталь С245 соответствует ГОСТ 27772-88.

В соответствии с установленными стандартами расшифровку марки стали производят следующим образом. Она имеет общую буквенную и индивидуальную цифровую маркировку. Например, С245 буква «С» означает, что это строительный металл, а трёхзначное число 245 указывает на предел текучести.

Расшифровка обозначений проката

Добавление отдельных химических элементов улучшают определённые характеристики металла. Например, добавление хрома или никеля повышает твердость и улучшает антикоррозийные свойства. Присутствие меди в сплаве повышает вязкость и улучшает теплопроводность. Присутствие в составе таких элементов, как марганец и кремний, предотвращают образование закиси железа. Марганец устраняет негативное влияние серы, которая делаем металл хрупким. Добавление легирующих элементов значительно повышает твёрдость изделия и улучшает его антикоррозийные свойства.

Читайте так же:
Деревянный ящик под инструменты

В соответствии с таким химическим составом вся продукция имеет следующие физические характеристики:

  • коэффициент температурного расширения;
  • коэффициент теплопроводности или теплоёмкость материала;
  • удельная теплоёмкость;
  • плотность практически для всех образцов одинакова и составляет 7850 кг/м 3 ;
  • модуль упругости первого рода;
  • удельное электрическое сопротивление;

Все перечисленные характеристики определяются температурой, при которой происходили испытания. Это необходимо для оценки возможностей будущей эксплуатации изделий.

Механические свойства стали 245

Поскольку её выпускают в виде листового или фасонного проката, то и механические свойства рассматриваются для каждого вида отдельно. К основным механическим свойствам относятся:

  • предел кратковременной прочности (для листового проката от 2 до 10 миллиметров равен 370 МПа);
  • предел текучести или пропорциональности (для листа имеет значение 245 МПа);
  • относительное удлинение на разрыв (листа от 2 до 4 миллиметров составляет 20%, для листов до 10 миллиметров 25%);
  • величина изгиба до достижения параллельности сторон (определяется как диаметр возможного закругления и зависит от толщины металла);
  • ударная вязкость – изменяется от 29 до 39 дж/см 2 в зависимости от окружающей температуры;
  • твёрдость (сравнение производится по различным критериям, например по Бринеллю, Виккерсу или Шору) по Бринеллю составляет 131 МПа.

Сталь 245 в листах

Химический состав

Сталь состоит из приблизительно:

  • 98 % железа,
  • 0,2 % углерода,
  • 0,65 % марганца,
  • от 0,05 до 0,015 % кремния,
  • до 0,3 % хрома, никеля и меди вместе взятых.

Допускается наличие до 0,05 % серы, 0,04 % фосфора и 0,08% мышьяка.

Расшифровка стали С245

В обозначении стали буква С означает «строительная, цифры 245 – предел текучести (Т) в мегапаскалях (МПа). В более привычных единицах σТ=24,5 кг/кв. мм.

Из других параметров, характеризующих механические свойства стали отметим предел прочности при растяжении в=370 МПа (37 кг/кв. мм).

Свариваемость

Для оценки свариваемости используют критерий эквивалента углерода, рассчитываемого по формуле

Сэ=С+Г/6+Х/5+(Н+Д)/15, где С, Г, Х, Н, Д – количество углерода, марганца, хрома, никеля и меди в процентах в составе стали или сплава.

Для С245 эквивалентный углерод ниже 0,25 %, что означает хорошую свариваемость. Сварной шов не склонен к образованию горячих и холодных трещин. Детали можно сваривать любыми способами без проведения дополнительных мероприятий – предварительного подогрева, проковки околошовной зоны и т. д.

Пластичность

Пластические качества, т. е. способность к деформации в холодном состоянии без признаков разрушения, характеризуется относительным удлинением образца при разрыве и размером площадки текучести.

Сталь С245 имеет показатель относительного удлинения при разрыве, т. е. удлинение образца по отношению к начальному размеру после разрушения, 25 %.

Протяженность площадки текучести, т. е. изменение относительного удлинения, при котором не меняется напряжение, составляет не менее 2,5%.

Это говорит о возможности гибки и штамповки тонких листов стали. Для толстых во избежание появления трещин следует применять местный нагрев.

Чтобы понять различие в деформационной способности тонких и толстых листов, следует обратиться к курсу сопротивления материалов. При сгибе листа разница в изменении размеров наружной и внутренней стороны будет тем больше, чем больше толщина. Значит, у толстого листа относительная деформация будет больше и вероятность разрушения – появления трещин – выше.

С повышением температуры предел текучести металла снижается, а площадка текучести увеличивается. Поэтому для деформации стального листа большой толщины его необходимо нагреть или увеличить радиус сгиба.

Коррозионная стойкость

Легирующие компоненты – кремний, медь и др. – несколько повышают коррозионную стойкость сталей.

С245 обладает средней стойкостью к окислению. Её достаточно для межоперационного хранения заготовок, а также для эксплуатации внутри сухих помещений без дополнительной защиты. В остальных случаях следует наносить лакокрасочные покрытия соответствующие условиям эксплуатации конструкции.

Химический состав

Сталь состоит из приблизительно:

  • 98 % железа,
  • 0,2 % углерода,
  • 0,65 % марганца,
  • от 0,05 до 0,015 % кремния,
  • до 0,3 % хрома, никеля и меди вместе взятых.

Допускается наличие до 0,05 % серы, 0,04 % фосфора и 0,08% мышьяка.

Расшифровка стали С245

В обозначении стали буква С означает «строительная, цифры 245 – предел текучести (Т) в мегапаскалях (МПа). В более привычных единицах σТ=24,5 кг/кв. мм.

Из других параметров, характеризующих механические свойства стали отметим предел прочности при растяжении в=370 МПа (37 кг/кв. мм).

Свариваемость

Для оценки свариваемости используют критерий эквивалента углерода, рассчитываемого по формуле

Сэ=С+Г/6+Х/5+(Н+Д)/15, где С, Г, Х, Н, Д – количество углерода, марганца, хрома, никеля и меди в процентах в составе стали или сплава.

Для С245 эквивалентный углерод ниже 0,25 %, что означает хорошую свариваемость. Сварной шов не склонен к образованию горячих и холодных трещин. Детали можно сваривать любыми способами без проведения дополнительных мероприятий – предварительного подогрева, проковки околошовной зоны и т. д.

Пластичность

Пластические качества, т. е. способность к деформации в холодном состоянии без признаков разрушения, характеризуется относительным удлинением образца при разрыве и размером площадки текучести.

Сталь С245 имеет показатель относительного удлинения при разрыве, т. е. удлинение образца по отношению к начальному размеру после разрушения, 25 %.

Протяженность площадки текучести, т. е. изменение относительного удлинения, при котором не меняется напряжение, составляет не менее 2,5%.

Читайте так же:
Автомобильные ножничные подъемники для гаража

Это говорит о возможности гибки и штамповки тонких листов стали. Для толстых во избежание появления трещин следует применять местный нагрев.

Чтобы понять различие в деформационной способности тонких и толстых листов, следует обратиться к курсу сопротивления материалов. При сгибе листа разница в изменении размеров наружной и внутренней стороны будет тем больше, чем больше толщина. Значит, у толстого листа относительная деформация будет больше и вероятность разрушения – появления трещин – выше.

С повышением температуры предел текучести металла снижается, а площадка текучести увеличивается. Поэтому для деформации стального листа большой толщины его необходимо нагреть или увеличить радиус сгиба.

Коррозионная стойкость

Легирующие компоненты – кремний, медь и др. – несколько повышают коррозионную стойкость сталей.

С245 обладает средней стойкостью к окислению. Её достаточно для межоперационного хранения заготовок, а также для эксплуатации внутри сухих помещений без дополнительной защиты. В остальных случаях следует наносить лакокрасочные покрытия соответствующие условиям эксплуатации конструкции.

Химический состав

Химический состав стали С245 по плавочному анализу ковшовой пробы должен соответствовать нормам, приведенным в табл. 1 (табл. 1-2 ГОСТ 27772-88).

Химический состав стали С245 по плавочному анализу ковшовой пробы

    Примечания:
  1. Допускается увеличение массовой доли марганца до 0,85 %.
  2. При выплавке стали из керченских руд массовая доля мышьяка — не более 0,15 %.

Допускается обработка стали синтетическими шлаками, вакуумирование, продувка аргоном, модифицирование стали кальцием и редкоземельными элементами из расчета введения в металл не более 0,02 % кальция и 0,05 % редкоземельных элементов (п. 2.10 ГОСТ 27772-88).

Допускается химический анализ стали на содержание хрома, никеля, меди и мышьяка изготовителю не проводить. Требуемый химический состав гарантируются изготовителем. В стали, выплавляемой из керченских руд, определение мышьяка обязательно (п. 2.13.1 ГОСТ 27772-88).

Свариваемость стали гарантируется изготовителем (п. 2.18 ГОСТ 27772-88).

§ 11. Последовательное, параллельное и смешанное соединения резисторов (приемников электрической энергии)

Значительное число приемников, включенных в электрическую цепь (электрические лампы, электронагревательные приборы и др.), можно рассматривать как некоторые элементы, имеющие определенное сопротивление.

Это обстоятельство дает нам возможность при составлении и изучении электрических схем заменять конкретные приемники резисторами с определенными сопротивлениями. Различают следующие способы соединения резисторов (приемников электрической энергии): последовательное, параллельное и смешанное.

Последовательное соединение резисторов.

Рис. 25. Схемы последовательного соединения приемников

Рис. 25. Схемы последовательного соединения приемников

При последовательном соединении нескольких резисторов конец первого резистора соединяют с началом второго, конец второго — с началом третьего и т. д. При таком соединении по всем элементам последовательной цепи проходит один и тот же ток I.

Заменяя лампы резисторами с сопротивлениями R1, R2 и R3, получим схему, показанную на рис. 25. Если принять, что в источнике Ro = 0, то для трех последовательно соединенных резисторов согласно второму закону Кирхгофа можно написать:

Следовательно, эквивалентное сопротивление последовательной цепи равно сумме сопротивлений всех последовательно соединенных резисторов. Так как напряжения на отдельных участках цепи согласно закону Ома: U1=IR1; U2 = IR2, U3 = IRз и в данном случае E = U, то для рассматриваемой цепи:

U = U1 + U2 +U3 (20)

Следовательно, напряжение U на зажимах источника равно сумме напряжений на каждом из последовательно включенных резисторов.
Из указанных формул следует также, что напряжения распределяются между последовательно соединенными резисторами пропорционально их сопротивлениям:

т. е. чем больше сопротивление какого-либо приемника в последовательной цепи, тем больше приложенное к нему напряжение.

В случае если последовательно соединяются несколько, например п, резисторов с одинаковым сопротивлением R1, эквивалентное сопротивление цепи Rэк будет в п раз больше сопротивления R1, т. е. Rэк = nR1. Напряжение U1 на каждом резисторе в этом случае в п раз меньше общего напряжения U:

При последовательном соединении приемников изменение сопротивления одного из них тотчас же влечет за собой изменение напряжения на других связанных с ним приемниках. При выключении или обрыве электрической цепи в одном из приемников и в остальных приемниках прекращается ток.

Поэтому последовательное соединение приемников применяют редко — только в том случае, когда напряжение источника электрической энергии больше номинального напряжения, на которое рассчитан потребитель. Например, напряжение в электрической сети, от которой питаются вагоны метрополитена, составляет 825 В, номинальное же напряжение электрических ламп, применяемых в этих вагонах, 55 В. Поэтому в вагонах метрополитена электрические лампы включают последовательно по 15 ламп в каждой цепи.

Параллельное соединение резисторов.

Рис. 26. Схемы параллельного соединения приемников

Рис. 26. Схемы параллельного соединения приемников

Заменяя лампы резисторами с сопротивлениями R1, R2, R3, получим схему, показанную на рис. 26, б.
При параллельном соединении ко всем резисторам приложено одинаковое напряжение U. Поэтому согласно закону Ома:

Ток в неразветвленной части цепи согласно первому закону Кирхгофа I = I1+I2+I3, или:

Следовательно, эквивалентное сопротивление рассматриваемой цепи при параллельном соединении трех резисторов определяется формулой:

1/Rэк = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 (24)

Вводя в формулу (24) вместо значений 1/Rэк, 1/R1, 1/R2 и 1/R3 соответствующие проводимости Gэк, G1, G2 и G3, получим: эквивалентная проводимость параллельной цепи равна сумме проводимостей параллельно соединенных резисторов:

Таким образом, при увеличении числа параллельно включаемых резисторов результирующая проводимость электрической цепи увеличивается, а результирующее сопротивление уменьшается.

Из приведенных формул следует, что токи распределяются между параллельными ветвями обратно пропорционально их электрическим сопротивлениям или прямо пропорционально их проводимостям. Например, при трех ветвях:

В этом отношении имеет место полная аналогия между распределением токов по отдельным ветвям и распределением потоков воды по трубам.

Приведенные формулы дают возможность определить эквивалентное сопротивление цепи для различных конкретных случаев. Например, при двух параллельно включенных резисторах результирующее сопротивление цепи:

при трех параллельно включенных резисторах:

При параллельном соединении нескольких, например n, резисторов с одинаковым сопротивлением R1 результирующее сопротивление цепи Rэк будет в n раз меньше сопротивления R1, т.е.:

Rэк = R1 / n (27)

Проходящий по каждой ветви ток I1, в этом случае будет в п раз меньше общего тока:

I1 = I / n (28)

При параллельном соединении приемников, все они находятся под одним и тем же напряжением, и режим работы каждого из них не зависит от остальных. Это означает, что ток, проходящий по какому-либо из приемников, не будет оказывать существенного влияния на другие приемники. При всяком выключении или выходе из строя любого приемника остальные приемники остаются включенными.

Поэтому параллельное соединение имеет существенные преимущества перед последовательным, вследствие чего оно получило наиболее широкое распространение. В частности, электрические лампы и двигатели, предназначенные для работы при определенном (номинальном) напряжении, всегда включают параллельно.

На электровозах постоянного тока и некоторых тепловозах тяговые двигатели в процессе регулирования скорости движения нужно включать под различные напряжения, поэтому они в процессе разгона переключаются с последовательного соединения на параллельное.

Смешанное соединение резисторов.

Смешанным соединением называется такое соединение, при котором часть резисторов включается последовательно, а часть — параллельно.

Например, в схеме рис. 27, а имеются два последовательно включенных резистора сопротивлениями R1 и R2, параллельно им включен резистор сопротивлением Rз, а резистор сопротивлением R4 включен последовательно с группой резисторов сопротивлениями R1, R2 и R3.

alt=»Рис. 27. Схемы смешанного соединения приемников» width=»300″ height=»75″ />Рис. 27. Схемы смешанного соединения приемников

Эквивалентное сопротивление цепи при смешанном соединении обычно определяют методом преобразования, при котором сложную цепь последовательными этапами преобразовывают в простейшую.

Например, для схемы рис. 27, а вначале определяют эквивалентное сопротивление R12 последовательно включенных резисторов с сопротивлениями R1 и R2: R12 = R1 + R2. При этом схема рис. 27, а заменяется эквивалентной схемой рис. 27, б. Затем определяют эквивалентное сопротивление R123 параллельно включенных сопротивлений и R3 по формуле:

При этом схема рис. 27, б заменяется эквивалентной схемой рис. 27, в. После этого находят эквивалентное сопротивление всей цепи суммированием сопротивления R123 и последовательно включенного с ним сопротивления R4:

Последовательное, параллельное и смешанное соединения широко применяют для изменения сопротивления пусковых реостатов при пуске э. п. с. постоянного тока.

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин

Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?

Сила упругости и закон Гука

Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.

Примерами пластических деформаций являются:

  • лепка из глины;
  • погнутая алюминиевая ложка.

В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:

  • резинка (можно растянуть ее, после чего она вернется в исходное состояние);
  • пружина (после сжатия снова распрямляется).

В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:

где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин

Определение коэффициента жесткости

Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:

Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.

Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.

Расчет жесткости системы

Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.

Последовательное соединение системы пружин

При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:

1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,

где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин

Параллельное соединение системы пружин

В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:

k = k1 + k2 + … + ki.

Измерение жесткости пружины опытным путем – в этом видео.

Вычисление коэффициента жесткости опытным методом

С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:

  • линейка;
  • пружина;
  • груз с известной массой.

Последовательность действий для опыта такова:

  1. Необходимо закрепить пружину вертикально, подвесив ее к любой удобной опоре. Нижний край должен остаться свободным.
  2. При помощи линейки измеряется ее длина и записывается как величина x1.
  3. На свободный конец нужно подвесить груз с известной массой m.
  4. Длина пружины измеряется в нагруженном состоянии. Обозначается величиной x2.
  5. Подсчитывается абсолютное удлинение: x = x2-x1. Для того чтобы получить результат в международной системе единиц, лучше сразу перевести его из сантиметров или миллиметров в метры.
  6. Сила, которая вызвала деформацию, — это сила тяжести тела. Формула для ее расчета — F = mg, где m — это масса используемого в эксперименте груза (переводится в кг), а g — величина свободного ускорения, равная приблизительно 9,8.
  7. После проведенных расчетов остается найти только сам коэффициент жесткости, формула которого была указана выше: k = F/x.

Примеры задач на нахождение жесткости

Задача 1

На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.

  1. Рассчитываем длину абсолютного удлинения: x = 14—10 = 4 см = 0,04 м.
  2. По формуле находим коэффициент жесткости: k = F/x = 100 / 0,04 = 2500 Н/м.

Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.

Задача 2

Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.

  1. Найдем силу тяжести, деформирующей пружину: F = mg = 10 · 9.8 = 98 Н.
  2. Определим коэффициент упругости: k = F/x = 98 / 0.04 = 2450 Н/м.
  3. Рассчитаем, с какой силой действует второй груз: F = mg = 25 · 9.8 = 245 Н.
  4. По закону Гука запишем формулу для абсолютного удлинения: x = F/k.
  5. Для второго случая подсчитаем длину растяжения: x = 245 / 2450 = 0,1 м.

Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.

Видео

Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.

Последовательное соединение пружин:

1/kобщ = 1/k1 + 1/k2 +. + 1/kn

Либо, если это две последовательно соединенные пружины, то можно использовать следующую формулу:

Однако, нам следует еще вспомнить закон Гука:
F = kl
В последовательном соединении имеется n пружин с жесткостями k1, k2, и так далее. Из закона Гука следует, что F = kl. Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения l(или х, по разному в учебниках пишется)1 + l2+. + ln = lc. (кстати, это одно из свойств последовательно соединения) По закону Гука получим мы можем вывести следующее уравнение: l = F/k, l1 = F/k1 и т. Д. Собственно, далее из этого выражения следует: 1/kобщ = 1/k + 1/k +. + 1/kn.
Собственно, отсюда получаем:
kобщ = 1/1/k + 1/k +. + 1/kn.
Ну и как вы уже поняли, k пойдет наверх, и оно будет обратно пропорционально числителю, который в свою очередь зависит от коэффициента жесткости.

При параллельном соединении двух пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1, с2 (рис. 2.5), смещение тела равно деформации каждой из пружин:

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин. (2.9)

РКоэффициент жесткости при последовательном соединении пружинис. 2.5 Параллельное соединение пружин

Сила упругости эквивалентной пружины с коэффициентом жесткости с* будет равна сумме сил упругости двух установленных пружин, откуда с учетом (2.9) получаем

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин,

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин. (2.10)

Последовательное соединение пружин

При последовательном соединении двух пружин, имеющих коэффициенты жесткости с1, с2 (рис. 2.6), смещение тела равно сумме деформаций пружин:

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин. (2.11)

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин

Рис. 3.6 Последовательное соединение пружин

Сила упругости эквивалентной пружины с коэффициентом жесткости с* будет равна каждой из сил упругости установленных пружин, откуда

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин,

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин,

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин

Окончательно с учетом (2.11) получаем

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин. (2.12)

Влияние сопротивления на свободные колебания

Пусть на точку массы m, совершающую прямолинейное движение, действуют две силы (рис. 2.7):

Восстанавливающая сила (сила упругости пружины): Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин.

Сила сопротивления, пропорциональная скорости движения точки (сила сопротивления демпфера): Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин.

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин

Рис. 2.7 Движение массы с демпфированием

Дифференциальное уравнение движения точки запишется как

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин;

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин,

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, (2.13)

получаем линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин. (2.14)

Характеристическое уравнение имеет вид

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, (2.15)

его корни равны

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, (2.16)

где Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин– дискриминант.

Как известно из курса высшей математики, общее решение дифференциального уравнения (2.14) существенно зависит от знака дискриминанта Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, т.е. от соотношения между b и k.

1-й случай (малое сопротивление): bk , D  0.

Обозначим Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, причем k*k. Тогда корни (2.16) характеристического уравнения будут комплексно сопряженными:

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин

Общее решение дифференциального уравнения (2.14) в данном случае имеет вид

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, (2.17)

это затухающие колебания с частотой k * и периодом Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин(рис.3.8).

Амплитуда колебаний убывает со временем. Отношение последующей амплитуды к предыдущей называется декрементом затухания:

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин*k) и к увеличению их периода (Т * > Т).

Корни (2.16) характеристического уравнения получаются кратные, Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин, и решение дифференциального уравнения (2.14) приобретает вид

Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин. (2.19)

Поскольку экспонента убывает быстрее, чем растёт линейная функция времени, в зависимости от начальных условий движения получим ту или иную картину затухающего апериодического (т.е. не колебательного) движения (рис.2.9).

3-й случай (большое сопротивление): b > k, D > 0.

В этом случае обозначим Коэффициент жесткости при последовательном соединении пружин>0, и оба корня (2.16) характеристического уравнения будут действительными и отрицательными:

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector